Am Beispiel des "Apfelmännchens" soll gezeigt werden, dass kleinere
Versionen des Fraktals in ihm selbst enthalten sind, die wiederum noch kleinere
Abbilder beinhalten usw.
Durch ihren Formenreichtum und den damit verbundenen ästhetischen Reiz
spielen sie in der digitalen Kunst eine gewisse Rolle. Ferner werden sie
bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen wie
beispielsweise realitätsnaher Landschaften eingesetzt.
Fraktale Konzepte
finden sich auch in der Natur (siehe Abb.2). Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von
selbstähnlichen Strukturen auf 3-5 begrenzt. Typische
Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen
Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei den Farnen.
Abb. 3: natürliches Vorkommen von Fraktalen: Romanesco [3]
Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, der
Blutkreislauf, Flusssysteme und Küstenlinien.
Ebenso findet man fraktale Strukturen auch im Kristallwachstum und bei der
Entstehung von Mischungen (z.B. wenn man einen Tropfen Farblösung in ein
Glas Wasser gibt. [1]
Zum Versuch
Elektrochemische
Entstehung von elementaren Silber
Bei der Elektrolyse einer Metallsalz-Lösung werden durch den
angelegten elektrischen Stromfluss Metall-Ionen reduziert und als
elementares Metall an der Kathode abgeschieden.
Dabei wird die
Abscheidung der Silberatome durch die NERNST-Gleichung
beschrieben. Sie gibt die Abhängigkeit des Gleichgewichtspotentials Er
für die Grenzfläche Metall/Elektrolyt von der Konzentration der
Metall-Ionen in der Lösung an.
Die Reduktion des
Metall-Ions erfolgt beim ersten Kontakt mit dem Minuspol einer Stromquelle
(Kathode), welche die erforderlichen Elektronen liefert. Diese
Reduktion kann als annähernd irreversibel betrachtet werden.
Entstehung der fraktalen Struktur
Aufgrund
der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen stellt ein abgeschiedenes
Metall-Atom eine elektronenleitende Verbindung zwischen der Elektrode
und der Ionenlösung dar, an der weitere Ionen entladen werden können. Jedes angelagerte Atom wird
anschließend selbst zum erweiterten Wachstumskeim. Der thermodynamische Aspekt,
also eine negative freie Enthalpie, stellt für das fraktale Wachstum von
Metallbäumen die Triebkraft dar und die elektronenleitende Eigenschaft jeder neu aufgewachsenen Atomlage gewährleistet die Entstehung der Strukturen.Spannung, Stromdichte, Konzentration, Gefäßgeometrie, Diffusion, Migration sowie
die Änderung der Oberflächenspannung und die Konvektion durch
Dichtegradienten beeinflussen die Morphologie der fraktalen Strukturen.[2]
Die Vielzahl der beeinflussenden Parameter führt zu einer großen
Unvorhersagbarkeit der Bildung des Bäumchens (Wachstumsgeschwindigkeit, Form,
Wachstum von ein oder mehreren Hauptästen, Wachstum auf der Flüssigkeitsoberfläche
oder auf dem Petrischalenboden).
Wieso lagern sich die Metall-Ionen nicht auch in
den Mulden zwischen den fraktalen Ästen ab?
Die Ursache hierfür
liegt in einem Effekt, der bei der Elektrolyse besonders zur Geltung
kommt:
Zu Beginn der Metallabscheidung hat die Kathode einen annähernd
eindimensionalen Charakter (auch die Verzweigungen von bereits
bestehenden Metallbäumen sind quasi eindimensional). In der
Chemie bedeutet dies, dass ein einzelnes Atom an der Spitze
des Leiters hängt.
Abb. 4: Schematische Darstellung des elektrischen
Feldes um einen eindimensionalen Leiter [2]
In einem elektrischen Leiter verteilen sich die
Ladungen so dass:
"an der Oberfläche des Leiters überall
dasselbe Potential vorhanden ist. Aufgrund dieser Randbedingungen
für das elektrische Potential ist die Ladungsdichte dort am
größten, wo der Krümmungsradius des Leiters, in diesem Fall also
der Elektrode, am kleinsten ist. Damit ist auch das an der
Oberfläche außerhalb des Leiters vorhandene elektrische Feld an
diesen Orten größer als an jenen, wo die Krümmung kleiner (d.h. wo
der Krümmungsradius größer) ist. [2]"
Infolgedessen
werden die positiv geladenen Metall-Ionen von der Spitze der Elektrode bzw. den
Spitzen bestehender Verzweigungen stärker angezogen, die Anlagerungshäufigkeit
ist hier am größten. Dadurch gibt es eine Selbstverstärkung bei bestehenden
Unebenheiten. Das Verzweigen der Wachstumsspitze ist darauf zurückzuführen, dass
Anlagerungen nicht an der äußersten Spitze, sondern (zufällig durch weiterhin
vorhandene Diffusionsbewegung) etwas versetzt erfolgen. Die Spitze wird dadurch
uneben und die Selbstverstärkung setzt ein. [2]
Literatur:
-
http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal, 20.12.05
-
Kunz, H., Dissertation:
http://docserver.bis.uni-oldenburg.de/publikationen/dissertation/2001/kunpri01/pdf/kap063.pdf,
20.12.05
-
http://www.semkreuz.de/Mathematik/MatheDownload/Fraktale_Kohl.jpg,
22.02.06
-
http://www.errare.de/fraktale/ueber.html, 22.02.06
-
http://img.blogcu.com/uploads/Leyla_farn3.gif, 22.02.06
