Didaktik der Chemie / Universität Bayreuth

Stand: 30.09.13


Harmonische Schwingungen

Vortrag von Janina Friedrich im Rahmen der "Übungen im Vortragen mit Demonstrationen - Physikalische Chemie", WS 12/13


Gliederung:

1 Beschreibung harmonischer Schwingungen
   1.1 Unterscheidung verschiedener Schwingungstypen
   1.2 Graphische Darstellung einer Sinusschwingung
   1.3 Auswirkungen der Änderung von Amplitude und Frequenz

2 Ausbreitung harmonischer Schwingungen
   2.1 Energie
   2.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit

Literatur


Einführung. Beim Einüben eines Musikstücks auf der Gitarre kann man sich leicht verspielen. Doch kann man schief gespielte Töne wirklich als „unharmonisch“ bezeichnen?


1 Beschreibung harmonischer Schwingungen

1.1 Unterscheidung verschiedener Schwingungstypen

Zunächst muss zwischen zwei Schwingungsarten unterschieden werden. Gedämpfte Schwingungen, die in der Natur vorkommen, klingen mit der Zeit ab, während ideale, harmonische Schwingungen ungedämpft sind und einen periodischen, sinusförmigen Verlauf nehmen.

Zur Vereinfachung wird der Schall der Gitarrensaiten im Folgenden jedoch wie eine harmonische Schwingung behandelt.

1.2 Graphische Darstellung einer Sinusschwingung

Um erste Aussagen über harmonische Schwingungen treffen zu können, betrachten man zuerst ihre graphische Darstellung. Hierbei wird die Zeit t auf die x-Achse und die Auslenkung y(t) der Schwingung auf die y-Achse aufgetragen. Der sinusförmige Verlauf ist gut zu erkennen.


Abb. 1
: Graphische Darstellung einer Sinusschwingung

Die eingetragenen Größen werden folgendermaßen definiert:

  • A: Amplitude
  • T: Periodendauer

Daraus ergeben sich weitere nützliche Parameter:

  • f: Frequenz (f = 1 / T)
  • ω: Kreisfrequenz (ω = 2π / T = 2π * f)
  • ρ0: Phasenverschiebung (ρ0 = ω * t0)


Abb. 2: Graphische Darstellung einer Sinusschwingung mit Phasenverschiebung

Hieraus lässt sich die Schwingungsgleichung ableiten:

I. Die Auslenkung y soll in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt werden.

y(t) =                 t

II. Es ist bekannt, dass die Auslenkung sinusförmig ist.

y(t) =       sin (   t          )

III. Das Argument des Sinus darf keine Einheit (in diesem Fall Sekunden) enthalten, weshalb die Kreisfrequenz eingeführt wird.

y(t) =       sin (ωt         )

IV. Je nach Wert der Amplitude ändert sich auch die Auslenkung y.

y(t) = A * sin (ωt         )

V. Eine Schwingung beginnt nicht zwangsweise im Nullpunkt. Um Verschiebungen entlang der x-Achse ausdrücken zu können, muss die Phasenverschiebung berücksichtigt werden. Man erhält schließlich die Schwingungsgleichung:

y(t) = A * sin (ωt + ρ0)

1.3 Auswirkungen der Änderung von Amplitude und Frequenz

Nachdem alle Größen einer harmonischen Schwingung bekannt sind, sollen nun die Resultate betrachtet werden, die mit der Änderung von Amplitude oder Frequenz einhergehen.

Experiment

Auswirkungen der Änderung von Amplitude und Frequenz einer harmonischen Schwingung

Material

  • Oszilloskop

  • Mikrofon

  • Gitarre

Durchführung

Anspielen verschiedener Gitarrensaiten in unterschiedlicher Lautstärke und Interpretation der am Oszilloskop angezeigten Schwingungen

Beobachtung

Bei geringer Lautstärke erscheinen die Schwingungen abgeflachter.

Bei hohen Tönen werden viele, dicht gedrängte Schwingungen angezeigt, während bei tiefen Tönen die Periodendauer größer ist.

Interpretation

Je leiser der Ton ist, desto kleiner wird die Amplitude.

Je tiefer der Ton ist, desto niedriger wird die Frequenz.


Abb. 3: Bild am Oszilloskop bei leisem Ton


Abb. 4: Bild am Oszilloskop bei hohem Ton


2 Ausbreitung harmonischer Schwingungen

2.1 Energie

Um eine Schwingung zu erzeugen, muss ein bestimmter Energiebetrag aufgewendet werden. Er setzt sich zusammen aus der kinetischen und der potentiellen Energie:

E = Ekin + Epot

    = ½ mv(t)2 + ½ Dy(t)2

Dieser Energiebetrag bleibt im Laufe einer harmonischen Schwingung erhalten, wobei die Einzelenergien permanent ineinander umgewandelt werden.

2.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit

Auch die Geschwindigkeit einer harmonischen Schwingung bleibt im Laufe ihrer Ausbreitung im Raum unverändert. Sie hängt ab von der Wellenlänge (= räumliche Ausdehnung einer Sinusperiode) und der Frequenz:

v = λ * f

Die Größe der Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium, durch das die Welle läuft, ab. Dies wird bei Betrachtung der Schallgeschwindigkeiten verschiedener Gase deutlich.

Gas Dichte (kg/m³) Schallgeschwindigkeit (m/s)
Kohlenstoffdioxid 1,977 259
Sauerstoff 1,429 316
Luft 1,293 331
Stickstoff 1,251 334
Ammoniak 0,771 415
Helium 0,178 965
Wasserstoff 0,090 1284

Helium ist im Vergleich zu dem Gasgemisch Luft ein sehr elastisches Medium, in dem die Ausbreitung des Schalls mit hoher Geschwindigkeit und hoher Frequenz erfolgt. So lässt sich erklären, warum die eigene Stimme nach dem Einatmen von Helium höher klingt.


Zusammenfassung:

Um Aussagen über eine harmonische Schwingung zu machen, kann man folgende Gleichungen verwenden:

  • y(t) = A * sin (ωt + ρ0)

  • E = ½ mv(t)2 + ½ Dy(t)2

  • v = λ * f

Die Amplitude einer Schallwelle wird durch die Lautstärke des Tons bestimmt, die Frequenz hängt von der Tonhöhe ab. In Gasen unterschiedlicher Dichte breitet sich eine Schallwelle verschieden aus und der entstehende Ton klingt jeweils höher bzw. tiefer.


Literatur:

  1. G. Eska, Schall & Klang, Birkhäuser Verlag, Berlin 1997.
  2. H. Kuttruff, Akustik, S. Hirzel Verlag, Stuttgart 2004.
  3. http://www.argus32.de/foeller/Musik/Eigenes/TGI_MI_Skript_Akustik.pdf, 02.12.2012.

E-Mail: Walter.Wagner ät uni-bayreuth.de, Stand: 30.09.13