Didaktik der Chemie / Universität Bayreuth

Stand: 12.02.16


Kelvin-Gleichung

Vortrag von Magdalena Franek im Rahmen der "Übungen im Vortragen mit Demonstrationen - PC", W/SS 11/12


Gliederung:



Abb. 1: Opernaufführung "Macbeth"  [1]

In einer Opernaufführung wird Nebel erzeugt, um eine düstere Atmosphäre zu schaffen. Wieso verschwindet der künstliche Nebel schnell und Wasser in einem Glas nicht?


1 Anwendung

Die Kelvin-Gleichung wird in der Meteorologie zur Bestimmung der relativen Luftfeuchtigkeit genutzt. So können auch Vorhersagen von Wetterphänomenen wie Schnee- und Wolkenbildung gemacht werden. Hierfür wird dass Verhältnis vom Dampfdruck zum Luftdruck, das abhängig von der Größe der Wassertröpfchen ist, gemessen.


2 Prinzip der Verdunstung


Abb. 2: Modell zum Prinzip der Verdunstung 1 (ebene Wasseroberfläche in einem Glas); Kreise: Wassermoleküle, Pfeile: Bewegungsrichtung der Wassermoleküle

In einem Glas mit Wasser, also mit einer ebenen Wasseroberfläche, haben einige Wassermoleküle ausreichend Energie, um die Oberflächenspannung zu überwinden. Diese gehen in den Gaszustand über und bilden Dampf. Die Wassermoleküle wechseln zwischen der gebildeten Dampf- und der flüssigen Phase bis zu einem Gleichgewicht hin und her. Bei einem bestimmten Druck, dem Sättigungsdampfdruck, erreicht die Dampfphase ihre Sättigung. Auch die umgebende Luft kann mit Wasserdampf gesättigt werden. Ist der Dampfdruck der Luft niedriger als der Sättigungsdampfdruck, so wandern die Wassermoleküle  aus der Dampfphase raus, wodurch sich der Dampfdruck verringert. Die Wassermoleküle  aus der flüssigen Phase folgen vom hohen zum niedrigen Druck nach.


Abb. 3: Modell zum Prinzip der Verdunstung 2 (gekrümmte Wasseroberfläche in einem Tropfen);  Kreise: Wassermoleküle, Pfeile: Bewegungsrichtung der Wassermoleküle

Ist der Dampfdruck der Luft höher als der Sättigungsdampfdruck, so kann die Luft über ihre Sättigungsgrenze hinaus Wasserdampfmoleküle aufnehmen und es kommt zu einer Übersättigung. In einem so übersättigten Wasserdampf treffen bestimmte Wassermoleküle spontan aufeinander und bilden Tröpfchen (Kondensation). Um ein Wassertröpfchen herum entsteht ebenfalls Wasserdampf. Der Dampfdruck ist über einer solchen gekrümmten Wasseroberfläche jedoch höher als über einer ebenen. Wie hoch der Dampfdruck über der Wasseroberfläche ist, hängt somit von ihrer Krümmung ab.


3 Herleitung

Das Verhältnis vom Dampfdruck der Luft zum Sättigungsdampfdruck ist abhängig von der Größe und somit von dem Radius eines Wassertröpfchens. Das Sättigungsverhältnis wird mit der Kelvin-Gleichung ermittelt.

PD: Dampfdruck über gekrümmter Oberfläche

P0:Dampfdruck über ebener Oberfläche  (idealer Dampfdruck)

M: Molmasse

ρl: Dichte des Wassers

R: Gaskonstante

T: Temperatur

Zur Herleitung der Kelvin-Gleichung wird ein Gedankenexperiment genutzt:


Abb. 4: Gedankenexperiment: Bildung eines halbkugeligen Tropfens mithilfe eines ins Wasser eingetauchten Glasrohres

In das sich in einer Wanne befindende Wasser wird ein Glasrohr eingetaucht. Das Wasser steigt solange, bis der hydrostatische Druck im Rohr im Gleichgewicht mit dem Druck außerhalb des Rohrs steht.

Der Druck des Wassers (Ph) wird durch den von oben wirkenden Dampfdruck (P0) beeinflusst. Zusätzlich wird die Dichte des Wassers (ρl), die von der Gravitation (g) und der Tiefe (h) abhängt, berücksichtigt:

Der Druck der Flüssigkeit direkt unterhalb der Krümmung ergibt sich aus der folgenden Gleichung, wobei Pc für den Grenzflächendruck direkt an der "Berührungsstelle" zwischen der Dampf und der flüssigen Phase steht:

Werden die beiden Gleichungen gleichgesetzt und umgestellt, so ergibt es sich für die Tiefe (h):

Da der Dampf mit einem idealen Gas gleichgestellt werden kann, wird die Dichte des Dampfes D) wie folgt beschrieben:

Diese Gleichung wird in das Verhältnis zwischen dem Dampfdruck über der gekrümmten Oberfläche (PD) und dem idealen Dampfdruck (P0), das sich exponentiell verhält, miteinbezogen:

Der Dampfdruck steigt mit der zunehmenden Tiefe, also wird hier die für h angegebene Gleichung eingesetzt:

Da die Differenz zwischen dem Dampfdruck über der gekrümmten Oberfläche (PD) und dem idealen Dampfdruck (P0)  viel kleiner als der Grenzflächendruck (Pc) ist, kann diese vernachlässigt werden. Nach Laplace ergibt es sich für den Grenzflächendruck eines halbkugeligen Tropfens:

Der Grenzflächendruck für kugelige Tropfen lautet dann:

Schließlich wird diese Gleichung in das Verhältnis zwischen dem Dampfdruck über der gekrümmten Oberfläche (PD) und dem idealen Dampfdruck (P0) einbezogen.


4 Anwendung der Kelvin-Gleichung


Abb. 5: Sättigungsverhältnis für konvex gekrümmte Oberflächen (blaue Kurve) und für konkav gekrümmte Oberflächen (grüne Kurve)

Ist der Radius eines Wassertropfens bekannt, so kann mithilfe der Kelvin-Gleichung ermittelt werden, ob eine Kondensation oder eine Verdunstung des Wassers stattfindet. Sind der Dampfdruck über einer konvexen Krümmung (PD) und der ideale Dampfdruck (P0) gleich bzw. ihr Verhältnis zueinander (Sättigungsverhältnis) annähernd gleich, dann können sich Tropfen bilden. Das entspricht Tropfen mit großen Radien.  Sind die  Radien der Tropfen sehr klein bzw. annähernd an Null, so ist das Verhältnis von PD zu P0 groß und die Tropfen verdampfen.

Das Sättigungsverhältnis für andersherum gekrümmte Oberflächen (konkave Krümmungen), wie z.B. von Bläschen im Sekt, verhält sich umgekehrt und wird in der Kelvin-Gleichung durch ein vorangestelltes Minuszeichen gekennzeichnet. Dieses Prinzip wird z.B. bei der Herstellung von porösen Baumaterialien, bei welchen eine bestimmte Porengröße die Verdunstung von Wasser begünstigt, aber gleichzeitig die Stabilität des Materials erhalten bleiben soll.


5 Demonstration

Experiment Stickstoffnebel, Prinzip der Verdunstung und der Kondensation
Material
  • Metallschüssel
  • warmes Leitungswasser
  • Tieftemperatur-Handschuhe
  • Dewar-Gefäß
Chemikalien
  • flüssiger Stickstoff

Durchführung Die Metallschüssel wird mit warmen Leitungswasser halbvoll gefüllt. Der flüssige Stickstoff wird darüber gekippt bis sich Nebel in ausreichender Menge bildet.
Beobachtung Beim Kontakt vom flüssigen Stickstoff mit der warmen Wasseroberfläche bildet sich sofort Nebel, der sich über die Metallschüssel hinaus zu den Seiten hin ausbreitet und dort verschwindet.
Interpretation Die Wassermoleküle gehen aus der flüssigen Phase (warmes Wasser) in die Dampfphase über (Verdunstung). Der flüssige Stickstoff kühlt den Dampf schnell ab. Die Temperaturdifferenz senkt die Sättigungsgrenze des Dampfes herab, wodurch es zur Bildung von Wassertröpfchen, zur Kondensation kommt. Außerhalb der Metallschüssel herrscht eine höhere Außentemperatur. Die Wassertröpfchen werden nach dem Prinzip der Verdunstung immer kleiner. Der Dampfdruck nimmt zu, wodurch die Wassermoleküle aus der Dampfphase heraus und hin zum niedrigeren Druck der Luft  wandern.

Zusammenfassung. Nebel besteht aus kleinen Tröpfchen, die sich aus übersättigtem Dampf bilden. Dabei ist das Sättigungsverhältnis (PD / P0) von der Größe eines Tropfens abhängig. Ist der Dampfdruck über einem solchen Tropfen (PD) gleich dem idealen Dampfdruck (P0), so ist dessen Existenz möglich. Je kleiner ein Tropfen ist, desto größer ist der Dampfdruck und somit das Sättigungsverhältnis. Also ist der Dampfdruck größer als der ideale Dampfdruck, so kommt es zur Verdunstung. Wie sich das Sättigungsverhältnis verhält, kann mithilfe der Kelvin-Gleichung ermittelt und somit z.B. die Existenz von einem Nebel vorhergesagt werden.


6 Literatur:

  1. http://operachic.typepad.com/opera_chic/2011/11/opera-chic-and-graziait-italys-top-201112-opera-openers.html, Copyright: Silvia Lelli, 12.02.2016
  2. http://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/physikalische_chemie/praktikum/
    skript_bo.pdf 09.12.2011
  3. http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/
    FUDISS_derivate_000000001425/01_kap1.pdf?hosts= 19.12.2011
  4. Butt, H. J.; Graf, K.; Kappl, M.: Physics and Chemistry of Interface. Wiley-VCH, Weinheim 2003.
  5. Evans, D. F.; Wennerström, H.: The Colloidal Domain-Where Physics, Chemistry, Biology and Technology Meet. Wiley-VCH, Weinheim 1999.

E-Mail: Walter.Wagner ät uni-bayreuth.de, Stand: 12.02.16